Součin matric

Předpokládejme, že potřebujeme násobit matice A na matrice B.

Abychom tento problém zredukovali na již známý (“Násobení řádku sloupcem”), matice A budeme považovat za množinu řádků, zatímco matici B — jako soubor sloupců.

Pak už zbývá jen udělat vynásobte každý řádek matrice A pro každý sloupec matrice B. V tomto případě si čísla vynásobených řádků a sloupců zachovají svou platnost – v tom smyslu, že výsledek vynásobení např. pátého řádku třetím sloupcem se zapíše do pátého řádku třetím sloupcem.

příklad:

Poté produkt AB nazývaná matice размера m×n , Prvky které se počítají podle pravidla

Pravidlo násobení řádků a sloupců:

násobení i-tý řádek matice A na j-tý sloupec matice B:

Označíme-li řádky matice A symboly a sloupce matice B – symboly , pak pravidlo (1) násobení matic může být reprezentováno v následujícím bloku:

Pokud tedy matice A obsahuje m řádky a matice B obsahuje n-sloupce, pak produkt AB je matrice С размера m x n. Prvek stojící v i-tý řádek a j-tý sloupec matice AB, se počítá podle pravidla násobení řádku sloupcem: i-tý řádek matice A vynásobeno j-tý sloupec matice B.

Práce AB je definován, pokud počet sloupců matice A se shoduje s počtem řádků matice B. (Jinými slovy, počet prvků v řádku matice A musí odpovídat počtu prvků ve sloupci matice B.)
Práce BA je definován, pokud počet sloupců matice B se shoduje s počtem řádků matice A.

Existence jednoho z děl (AB nebo BA) neznamená existenci druhého.
Pokud je definován každý z těchto produktů, pak velikosti matic AB и BA se nemusí nutně shodovat. Například výsledek násobení matic A velikost 1×n na matrice B размера n×1 je číslo (tj. matice 1×1), zatímco součin BA je čtvercová matice n-tý řád.
Pokud matriky A и B jsou čtvercové mairits n-Go, a jejich díla AB и BA jsou matice stejného řádu. Avšak i pro takové matice jsou jejich součiny v jednom a druhém řádu stejné pouze v některých speciálních případech.
Součin několika matic uspořádaných v určitém pořadí je jednoznačně určen, pokud je počet sloupců každé matice roven počtu řádků sousední matice vpravo. V tomto případě můžete pro nalezení součinu matic použít libovolné pořadí umístění závorek (viz Vlastnosti maticových operací).

Symbolický zápis znamená součin dvou stejných čtvercových matic:
Další kladné celočíselné mocniny čtvercové matice jsou definovány podobným způsobem:

Pravidlo (1) násobení matice si zachovává svůj tvar i v případě, kdy prvky matice A и B jsou jiné matrice. Nechť například matrice A и B jsou uvedeny ve formuláři